Форма Вселенной раскрыта через алгебраическую геометрию

Иллюстрация множества вещественных нулей полинома графа (в центре) и двух диаграмм Фейнмана (Коллаж). Автор: Max-Planck-Institut für Mathematik in den Naturwissenschaften

Как можно описать поведение элементарных частиц и структуру всей Вселенной с помощью одних и тех же математических концепций? Этот вопрос лежит в основе недавней работы математиков Клаудии Феволы из Inria Saclay и Анны-Лауры Саттельбергер из Института математики Макса Планка, опубликованной в журнале Notices of the American Mathematical Society.

Математика и физика тесно связаны. Математика предоставляет язык и инструменты для описания физических явлений, а физика стимулирует развитие новых математических идей. Это взаимодействие особенно важно в таких областях, как квантовая теория поля и космология, где сложные математические структуры и физические теории развиваются вместе.

В своей статье авторы исследуют, как алгебраические структуры и геометрические формы помогают понять явления — от столкновений частиц в ускорителях до крупномасштабной архитектуры космоса. Их работа сосредоточена на алгебраической геометрии и связана с новым междисциплинарным направлением — «положительной геометрией», вдохновлённой идеями из физики частиц и космологии.

Эта область была вдохновлена геометрической концепцией положительной геометрии, которая расширяет стандартный подход диаграмм Фейнмана, представляя взаимодействия частиц как объёмы высокоразмерных геометрических объектов, таких как амплитуэдр, введённый физиками-теоретиками Нимой Аркани-Хамедом и Ярославом Трнкой в 2013 году. Этот подход предлагает альтернативный и потенциально более простой способ вычисления амплитуд рассеяния, из которых можно вывести вероятности столкновений частиц.

Методы положительной геометрии находят применение и в космологии. Например, «космологические политопы» — разновидность положительных геометрий — помогают анализировать корреляции в реликтовом излучении и распределении галактик, что позволяет реконструировать физические законы, управлявшие рождением Вселенной.

Геометрия для Вселенной

Положительная геометрия — это не просто математическая абстракция, а потенциально универсальный язык для теоретической физики. Эти геометрические структуры естественным образом кодируют передачу информации между физическими системами, отражая то, как человек метафорически воспринимает мир.

Математический аппарат включает алгебраическую геометрию (изучение форм через системы полиномиальных уравнений), алгебраический анализ (исследование дифференциальных уравнений через D-модули) и комбинаторику (описание структурных взаимодействий).

Связь масштабов через математику

Исследование демонстрирует, как алгебраическая геометрия помогает анализировать интегралы Фейнмана, связанные с диаграммами рассеяния. Эти интегралы можно представить как преобразования Меллина от степеней полиномов графов, а их свойства отражают физические ограничения. Например, число «мастер-интегралов» (базисных интегралов) связано с топологической характеристикой Эйлера соответствующего алгебраического многообразия.

Перспективы нового подхода

«Положительная геометрия — молодая область, но она может значительно повлиять на фундаментальные исследования в физике и математике», — подчёркивают авторы. Уже сейчас международные коллаборации активно развивают эту теорию, открывая новые пути для понимания природы на всех масштабах — от частиц до галактик.

Подробнее: Claudia Fevola et al, Algebraic and Positive Geometry of the Universe: From Particles to Galaxies, Notices of the American Mathematical Society (2025). DOI: 10.1090/noti3220