Новые математические модели раскрывают механику дефектов кристаллов

Дипольный момент положительных и отрицательных клиновидных дисклинаций — «обратная сторона медали» одиночной краевой дислокации, обозначенной заменой аффинных связей. Перевернутая «T» отмечает краевую дислокацию, а треугольники представляют клиновидные дисклинации. Изогнутые линии изображают поле деформации, характеризующее метрику, созданную дисклинациями. Авторы: Сюнсукэ Кобаяси, Кацуми Такэмаса и Рюити Таруми

Кристаллы известны своей красотой и элегантностью. Однако, несмотря на внешнее совершенство, их микроструктура может быть весьма сложной, что затрудняет их математическое моделирование.

Но находятся те, кто готов принять вызов. В статье, опубликованной в этом месяце в журнале Royal Society Open Science, исследователи из Университета Осаки использовали дифференциальную геометрию, чтобы предложить надежное, строгое и унифицированное описание механики кристаллов и их дефектов.

В идеальном кристалле каждый атом расположен в строго периодическом порядке. Однако большинство кристаллов при ближайшем рассмотрении оказываются несовершенными — в их структуре встречаются дефекты: отсутствующий атом здесь, лишняя связь там. Эти дефекты имеют важные механические последствия — они могут стать началом трещины или даже использоваться для упрочнения материалов. Поэтому их изучение крайне важно для науки.

«Дефекты бывают разных видов, — объясняет ведущий автор исследования Сюнсукэ Кобаяси. — Например, существуют дислокации, связанные с нарушением трансляционной симметрии, и дисклинации, связанные с нарушением вращательной симметрии. Объединить все эти типы дефектов в единую математическую теорию непросто».

Действительно, предыдущие модели не смогли согласовать различия между дислокациями и дисклинациями, что указывало на необходимость доработки теории. Новые математические инструменты, использующие язык дифференциальной геометрии, оказались именно тем, что нужно команде для решения этих проблем.

«Дифференциальная геометрия предоставляет элегантную основу для описания этих сложных явлений, — говорит старший автор работы Рюити Таруми. — Простые математические операции позволяют уловить эти эффекты, что помогает нам сосредоточиться на сходстве между, казалось бы, разными дефектами».

Используя формализм многообразий Римана–Картана, исследователи смогли элегантно описать топологические свойства дефектов и строго доказать связь между дислокациями и дисклинациями. Ранее существовали лишь эмпирические наблюдения, а их математическая форма оставалась загадкой. Кроме того, команда вывела аналитические выражения для полей напряжений, создаваемых этими дефектами.

Ученые надеются, что их геометрический подход к описанию механики кристаллов вдохновит инженеров и материаловедов на создание материалов с заданными свойствами, используя дефекты — например, для упрочнения структур. А пока эти результаты — еще один пример того, как красота математики помогает понять красоту природы.

Подробнее: Сюнсукэ Кобаяси и др., Revisiting Volterra defects: geometrical relation between edge dislocations and wedge disclinations, Royal Society Open Science (2025). DOI: 10.1098/rsos.242213

Источник: Университет Осаки