ИИ-модель Claude Fable 5 опровергла 87-летнюю математическую гипотезу Якоби

Математик из компании Anthropic Левент Альпоге с помощью ИИ-модели Claude Fable 5 нашел контрпример к гипотезе Якоби — известной проблеме алгебраической геометрии, возраст которой составляет 87 лет. Результат оказался настолько компактным, что уместился в одном посте в соцсети X.

Гипотеза Якоби, сформулированная в 1939 году немецким математиком Отто-Генрихом Келлером, утверждает, что если определитель Якоби функции (ее «якобиан») является ненулевой константой, то у такой функции всегда существует обратная функция, также состоящая из многочленов. Проще говоря, функция, которая не «складывает» пространство, должна быть обратимой.

За долгую историю гипотезы было множество попыток ее доказать, включая попытки известных математиков Бениамино Сегре и Вольфганга Грёбнера, но все они содержали ошибки. При этом были найдены доказательства для частных случаев, а компьютерные вычисления подтверждали ее истинность для двумерного случая с многочленами до 100-й степени. Однако общего доказательства или опровержения найти не удавалось.

Альпоге нашел функцию в трехмерном пространстве, у которой определитель Якоби является константой -2, но при этом она переводит несколько разных входных точек в одну выходную, что делает ее необратимой. Это доказывает ложность гипотезы для всех размерностей больше двух. При этом исходная двумерная версия гипотезы остается открытой.

Примечательно, что контрпример оказался настолько простым, что другие математики легко смогли его проверить. Сложность заключалась не в построении сложной конструкции, а в поиске нужной функции среди огромного пространства возможных многочленов.

Это не первый случай, когда ИИ помогает совершить прорыв в математике. Ранее OpenAI с помощью ИИ опровергла гипотезу о единичном расстоянии, а 23-летний математик-любитель Лиам Прайс доказал проблему Эрдёша №1196 с использованием ИИ. Однако новый результат отличается тем, что сам контрпример чрезвычайно прост, а ИИ помог именно найти его, а не построить сложное доказательство.

Это говорит о том, что ИИ может быть полезен не только для написания сложных доказательств, но и для поиска неожиданных математических объектов. Что это значит для будущего математики — покажет время.