Математики доказали невозможность идеально справедливых выборов

Математики доказали, что идеально справедливая избирательная система невозможна в строгом математическом смысле. Ни один метод голосования не может одновременно гарантировать, что локальные победы дают локальные места, национальное распределение мест точно отражает общую долю голосов, а размер парламента остается фиксированным.

Исследователи из Кембриджского университета и Копенгагенского университета изучили системы пропорционального представительства и мажоритарной системы относительного большинства. Их анализ показал, что каждый метод формирования национального законодательного органа предполагает компромиссы, обычно между локальным представительством, национальной пропорциональностью и общим числом парламентских мест.

Избирательные системы под растущим давлением

Выборы в ряде североевропейских стран за последнее десятилетие продемонстрировали эти противоречия. Проблема стала более заметной, поскольку избиратели все чаще распределяют свои голоса среди большего числа политических партий.

В Дании левый блок победил на выборах 2022 года, несмотря на то что получил меньше голосов, чем правый блок, хотя страна использует пропорциональную систему. В Германии попытки сохранить и локальное представительство, и пропорциональность привели к резкому расширению Бундестага до реформ, введенных в 2023 году. В Великобритании всеобщие выборы 2024 года дали самый непропорциональный результат в истории страны: лейбористы получили 63% мест, набрав 33,7% голосов.

Хотя полностью «справедливой» избирательной системы может не существовать, исследователи утверждают, что страны все же могут более эффективно управлять конфликтом между региональным представительством, пропорциональностью и размером парламента. Их выводы опубликованы в журнале Annals of Operations Research.

Датские выборы, вдохновившие исследование

Проект начался после национальных выборов в Дании в 2022 году, когда голоса и места впервые за 75 лет не соответствовали друг другу.

Как и многие европейские страны, Дания использует двухуровневую пропорциональную систему. Избиратели сначала выбирают локальных представителей. Затем распределяются дополнительные «выравнивающие» места, чтобы приблизить долю мест каждой партии к ее доле в общенациональном голосовании.

Однако по мере того как политическая поддержка распределяется между большим числом партий, для сохранения пропорциональности требуется больше «выравнивающих» мест. В 2022 году в Дании было доступно 40 таких мест, но этого числа уже было недостаточно для полностью пропорционального результата.

«По сути, это почти сломало систему, — сказал соавтор исследования доктор Фредерик Равн Клаузен из Кембриджского департамента чистой математики и математической статистики. — В итоге социал-демократы получили на одно место больше, чем соответствовало их голосам. Конечно, по британским меркам это ничто, но в двухуровневой системе такого не должно происходить. Это усилило драматизм, ведь это единственное место решило исход выборов».

Клаузен и соавтор Себастьян Тим Холдум из Копенгагенского университета разработали теорему о невозможности, показывающую, как растущая политическая фрагментация оказывает все большее давление на избирательные системы, что может напрямую влиять на то, кто формирует правительство.

Три цели, которые не могут сосуществовать всегда

Исследователи сравнили избирательные системы по всему миру, включая британскую мажоритарную систему и пропорциональные системы, используемые в большей части Европы.

Они выделили три ключевые черты того, что многие считают «справедливой» системой:

• Региональность: каждый, кто побеждает на локальном уровне, сохраняет свое место
• Пропорциональность: национальное распределение мест соответствует национальной доле голосов
• Фиксированный размер парламента: число мест не меняется от выборов к выборам

«Мы обнаружили, что при определенном количестве политических партий один из этих трех компонентов должен уступить, иначе математика просто не сработает, — сказал Клаузен. — Это не коррупция и не заговор, это просто математика».

Как страны выбирают разные компромиссы

Правительства отреагировали на это математическое ограничение, выбрав, какой принцип они готовы ослабить.

В Германии Бундестаг расширился с 598 до 736 мест в 2021 году, потому что число выравнивающих мест, необходимых для сохранения пропорциональности, продолжало расти. Реформы, введенные в 2023 году, предотвратили бесконечное расширение законодательного органа, но также устранили гарантию того, что каждый локальный победитель попадет в парламент. Швеция — одна из стран, использующих аналогичный подход.

Великобритания выбирает другой компромисс. При мажоритарной системе пропорциональность — это принцип, которым чаще всего жертвуют.

На протяжении большей части прошлого века британская политика функционировала в основном как двухпартийная система. По мере появления дополнительных партий и привлечения ими значительной поддержки по всему политическому спектру разрыв между голосами и местами стал более выраженным.

В 2024 году Reform UK получила 14,3% национальных голосов, но лишь пять из 650 мест. Лейбористы, для сравнения, выиграли 411 мест с 33,7% голосов.

«На следующих британских выборах несоответствие между голосами и местами может быть еще больше», — сказал Клаузен.

Несколько бывших британских территорий унаследовали ту же избирательную модель и также столкнулись с давлением, требующим ее изменения. Канада сохранила мажоритарную систему, несмотря на неоднократные попытки реформ. Новая Зеландия приняла пропорциональное представительство в 1993 году, но новозеландская Палата представителей не имеет фиксированного размера парламента.

Математическое предложение для более справедливых выборов

Клаузен и Холдум также предложили возможную альтернативу, подкрепленную их математическим анализом. Их алгоритм, названный «географически ранжированная гарантированная пропорциональность», призван обойти некоторые ограничения, заложенные в существующие избирательные системы.

Согласно предложению, национальное количество мест каждой партии будет определяться исключительно ее общей долей голосов. Партия, получившая 20% голосов, получит 20% мест, независимо от того, где были отданы эти голоса.

Затем отдельные округа будут ранжироваться по тому, насколько сильно каждый кандидат выступил на локальном уровне. Места будут распределяться путем продвижения вниз по этому рейтингу, пока каждая партия не заполнит свою национальную квоту.

Этот метод гарантировал бы пропорциональность, но ослабил бы региональность. Кандидат мог бы уверенно победить в локальном округе и все равно не попасть в парламент, если его партия уже заполнила свою квоту более сильными результатами в других местах.

Идеальной системы нет, но лучшие возможны

«Наши результаты показывают, что по мере того, как дискуссии о пропорциональном представительстве в Великобритании привлекают все больше внимания, не существует такой вещи, как "идеальная" система, — сказал Клаузен. — Однако можно утверждать, что некоторые системы работают лучше других. То, что нужно пожертвовать пропорциональностью, региональностью или фиксированным размером парламента, не является оправданием. Можно иметь все три принципа приблизительно, но многие системы этого не делают».

Результаты показывают, что математические ограничения невозможно устранить, но они не мешают странам разрабатывать избирательные системы, которые более успешно балансируют три конкурирующие цели.

Источники:

Материалы предоставлены Кембриджским университетом.

Sebastian Tim Holdum, Frederik Ravn Klausen. Impossibility theorem for two-tier electoral systems. Annals of Operations Research, 2026; DOI: 10.1007/s10479-026-07344-1