Математики доказали существование загадочной пары вихрей Садовского спустя полвека

Исследователи из Ульсанского национального института науки и технологий (UNIST) совершили значительный прорыв, впервые математически доказав существование особого типа вихревой пары, известной как вихревое пятно Садовского, в идеальных потоках жидкости. Решение этой задачи заняло более 50 лет после первой публикации модели.

Схематическая иллюстрация вариационного метода, использованного исследовательской группой. Автор: Annals of PDE (2025). DOI: 10.1007/s40818-025-00212-4

Профессор Кюдонг Чой из UNIST, его аспирант Ён-Джин Сим и профессор Ин-Джи Чон из Сеульского национального университета подтвердили существование вихревого пятна Садовского как решения уравнений Эйлера. Результаты их работы опубликованы в журнале Annals of PDE.

Что такое вихревое пятно Садовского

Это уникальная конфигурация, в которой два вихря одинаковой силы вращаются в противоположных направлениях, оставаясь в контакте вдоль оси симметрии. Хотя они напоминают вихри за крыльями самолётов или судами, эти идеализированные структуры основаны на допущении невязкого потока, что позволяет им сохранять форму и двигаться по прямой неограниченно долго.

Идея была впервые предложена российским математиком В. С. Садовским в 1971 году на основе численного моделирования. Однако доказательство того, что такая пара вихрей действительно может существовать как реальное решение, долгое время оставалось нерешённой задачей в гидродинамике.

Математический прорыв и его значение

Для доказательства исследователи использовали вариационный анализ — математический подход, который предполагает поиск конфигурации, максимизирующей или минимизирующей определённую величину (в данном случае энергию потока) при заданных ограничениях. Установив небольшое расстояние между вихрями и верхний предел их циркуляции, они нашли вихревую пару с максимально возможной энергией.

Анализ показал, что эта энергетически максимальная конфигурация соответствует форме и структуре пятна Садовского. Помимо доказательства существования, команда также продемонстрировала, что такая структура может быть физически стабильной, то есть способна сохраняться в среде идеальной жидкости. Это важный шаг к пониманию реальных вихревых явлений.

«Мы конкурировали с командой профессора Хуан-Тонга из Пекинского университета в попытках математически доказать существование вихря Садовского, — пояснил профессор Чой. — Наша работа отличается тем, что мы также показали, что эти вихревые пары могут быть физически стабильными, что делает их чем-то большим, чем просто математическим курьёзом».

Значение для исследований в гидродинамике

Это открытие имеет широкие последствия для изучения турбулентности, анализа следов за самолётами и судами, а также исследования взаимодействия вихрей в атмосферных и океанических системах. Например, понимание динамики вихревых пар может помочь объяснить такие явления, как эффект Фудзивары, при котором несколько циклонов взаимодействуют и влияют друг на друга — впервые это наблюдал японский метеоролог Сакухэ Фудзивара в 1921 году.

Больше информации: Kyudong Choi et al, On Existence of Sadovskii Vortex Patch: A Touching Pair of Symmetric Counter-Rotating Uniform Vortices, Annals of PDE (2025). DOI: 10.1007/s40818-025-00212-4

Источник: Ulsan National Institute of Science and Technology