Линейные алгебраические группы, теория графов и клеточные автоматы: обзор ключевых концепций

Содержание:

Линейная алгебраическая группа   

По сути, линейная алгебраическая группа — это подгруппа группы обратимых матриц размера n×n (относительно матричного умножения), заданная полиномиальными уравнениями.

Многие группы Ли можно рассматривать как линейные алгебраические группы над полем действительных или комплексных чисел. Например, любая компактная группа Ли может быть представлена как линейная алгебраическая группа над R (обязательно R-анизотропная и редуктивная), как и многие некомпактные группы, например, простая группа Ли SL(n,R). Простые группы Ли были классифицированы Вильгельмом Киллингом и Эли Картаном в 1880–1890-х годах. В то время не использовалось то, что групповую структуру можно задать полиномами, то есть что это алгебраические группы. Основатели теории алгебраических групп включают Маурера, Шевалле и Колчина (1948). В 1950-х годах Арман Борель построил большую часть современной теории алгебраических групп.

Одним из первых применений теории стало определение групп Шевалле.

Для алгебраически замкнутого поля k большая часть структуры алгебраического многообразия X над k закодирована в его множестве X(k) k-рациональных точек, что позволяет дать элементарное определение линейной алгебраической группы. Сначала определите функцию из абстрактной группы GL(n,k) в k как регулярную, если ее можно записать в виде полинома от элементов матрицы A размера n×n и от 1/det(A), где det — определитель. Тогда линейная алгебраическая группа G над алгебраически замкнутым полем k — это подгруппа G(k) абстрактной группы GL(n,k) для некоторого натурального числа n, такая что G(k) задается обращением в нуль некоторого набора регулярных функций.

Для произвольного поля k алгебраические многообразия над k определяются как частный случай схем над k. В этом контексте линейная алгебраическая группа G над полем k — это гладкая замкнутая подсхема группы GL(n) над k для некоторого натурального числа n.

В частности, G определяется обращением в нуль некоторого набора регулярных функций на GL(n) над k, и эти функции должны обладать свойством, что для каждой коммутативной k-алгебры R, G(R) является подгруппой абстрактной группы GL(n,R). (Таким образом, алгебраическая группа G над k — это не просто абстрактная группа G(k), а целое семейство групп G(R) для коммутативных k-алгебр R; такова философия описания схемы через ее функтор точек.)

В обоих подходах существует понятие гомоморфизма линейных алгебраических групп. Например, когда k алгебраически замкнуто, гомоморфизм из G ⊂ GL(m) в H ⊂ GL(n) — это гомоморфизм абстрактных групп G(k) → H(k), который задается регулярными функциями на G. Это превращает линейные алгебраические группы над k в категорию. В частности, это определяет, что значит, что две линейные алгебраические группы изоморфны.

В языке схем линейная алгебраическая группа G над полем k является, в частности, групповой схемой над k, то есть схемой над k вместе с k-точкой 1 ∈ G(k) и морфизмами.

Для полного понимания линейных алгебраических групп необходимо рассматривать более общие (негладкие) групповые схемы. Например, пусть k — алгебраически замкнутое поле характеристики p > 0. Тогда гомоморфизм f: Gm → Gm, заданный как x ↦ x^p, индуцирует изоморфизм абстрактных групп k* → k*, но f не является изоморфизмом алгебраических групп (поскольку x^1/p не является регулярной функцией). В языке групповых схем есть более четкая причина, почему f не является изоморфизмом: f сюръективен, но имеет нетривиальное ядро, а именно групповую схему μ_p корней p-й степени из единицы. Эта проблема не возникает в характеристике ноль.

Различные понятия из абстрактной теории групп могут быть расширены на линейные алгебраические группы. Несложно определить, что значит, что линейная алгебраическая группа является коммутативной, нильпотентной или разрешимой, по аналогии с определениями в абстрактной теории групп.

Например, линейная алгебраическая группа называется разрешимой, если она имеет композиционный ряд из линейных алгебраических подгрупп, такой что факторгруппы являются коммутативными. Кроме того, нормализатор, центр и централизатор замкнутой подгруппы H линейной алгебраической группы G естественным образом рассматриваются как замкнутые подсхемы группы G. Если они гладкие над k, то они являются линейными алгебраическими группами, как определено выше.

Можно задаться вопросом, в какой степени свойства связной линейной алгебраической группы G над полем k определяются абстрактной группой G(k). Полезный результат в этом направлении заключается в том, что если поле k является совершенным (например, характеристика ноль) или если G является редуктивной (как определено ниже), то G является унирациональной над k. Следовательно, если вдобавок k бесконечно, то группа G(k) является плотной по Зарисскому в G. Например, при упомянутых предположениях G является коммутативной, нильпотентной или разрешимой тогда и только тогда, когда G(k) обладает соответствующим свойством.

Для любого поля k элемент g из GL(n,k) называется полупростым, если он становится диагонализируемым над алгебраическим замыканием поля k. Если поле k является совершенным, то полупростая и унипотентная части g также лежат в GL(n,k). Наконец, для любой линейной алгебраической группы G ⊂ GL(n) над полем k определим k-точку группы G как полупростую или унипотентную, если она является полупростой или унипотентной в GL(n,k). (Эти свойства на самом деле не зависят от выбора точного представления G.) Если поле k является совершенным, то полупростая и унипотентная части k-точки группы G автоматически находятся в G. То есть (жорданово разложение): каждый элемент g из G(k) может быть однозначно записан в виде произведения g = g_ssg_u в G(k), где g_ss является полупростым, g_u — унипотентным, и g_ss и g_u коммутируют друг с другом. Это сводит проблему описания классов сопряженности в G(k) к полупростому и унипотентному случаям.

Подгруппы Бореля важны для структурной теории линейных алгебраических групп.

Для линейной алгебраической группы G над алгебраически замкнутым полем k подгруппа Бореля группы G означает максимальную гладкую связную разрешимую подгруппу. Например, одной из подгрупп Бореля GL(n) является подгруппа B верхнетреугольных матриц (все элементы ниже диагонали равны нулю).

Фундаментальный результат теории заключается в том, что любые две подгруппы Бореля связной группы G над алгебраически замкнутым полем k сопряжены некоторым элементом из G(k). (Стандартное доказательство использует теорему Бореля о неподвижной точке: для связной разрешимой группы G, действующей на собственном многообразии X над алгебраически замкнутым полем k, существует k-точка в X, неподвижная относительно действия G.) Сопряженность подгрупп Бореля в GL(n) сводится к теореме Ли — Колчина: каждая гладкая связная разрешимая подгруппа GL(n) сопряжена подгруппе верхнетреугольных матриц в GL(n).

Каждая компактная связная группа Ли имеет комплексификацию, которая является комплексной редуктивной алгебраической группой. Фактически, эта конструкция устанавливает взаимно однозначное соответствие (с точностью до изоморфизма) между компактными связными группами Ли и комплексными редуктивными группами.

Для произвольного поля k редуктивная группа G называется расщепимой, если она содержит расщепимый максимальный тор над k (то есть расщепимый тор в G, который остается максимальным над алгебраическим замыканием поля k). Например, GL(n) является расщепимой редуктивной группой над любым полем k. Шевалле показал, что классификация расщепимых редуктивных групп одинакова над любым полем. Напротив, классификация произвольных редуктивных групп может быть сложной и зависит от основного поля. Например, каждая невырожденная квадратичная форма q над полем k определяет редуктивную группу SO(q), а каждая центральная простая алгебра A над k определяет редуктивную группу SL1(A) (из элементов с приведенной нормой 1). В результате задача классификации редуктивных групп над k по существу включает в себя задачу классификации всех квадратичных форм над k или всех центральных простых алгебр над k.

Эти задачи просты для алгебраически замкнутого поля k и хорошо изучены для некоторых других полей, таких как числовые поля, однако для произвольных полей остается много открытых вопросов.

Теория групп   

В абстрактной алгебре теория групп изучает алгебраические структуры, известные как группы. Понятие группы является центральным для абстрактной алгебры: другие известные алгебраические структуры, такие как кольца, поля и векторные пространства, можно рассматривать как группы, наделенные дополнительными операциями и аксиомами. Группы встречаются повсюду в математике, а методы теории групп оказали влияние на многие разделы алгебры. Линейные алгебраические группы и группы Ли — это две ветви теории групп, которые достигли значительного прогресса и стали самостоятельными областями исследований.

Различные физические системы, такие как кристаллы и атом водорода, а также три из четырех известных фундаментальных сил во Вселенной, могут быть смоделированы с помощью групп симметрии. Таким образом, теория групп и тесно связанная с ней теория представлений имеют множество важных приложений в физике, химии и материаловедении. Теория групп также лежит в основе криптографии с открытым ключом.

Ранняя история теории групп восходит к XIX веку. Одним из важнейших математических достижений XX века стали совместные усилия, занявшие более 10 000 журнальных страниц и опубликованные в основном в период с 1960 по 2004 год, которые привели к полной классификации конечных простых групп.

Спектр рассматриваемых групп постепенно расширился от конечных групп перестановок и специальных примеров матричных групп до абстрактных групп, которые могут быть заданы через представление образующими и соотношениями.

Первым классом групп, подвергшимся систематическому изучению, были группы перестановок. Для любого множества X и набора G биекций X на себя (известных как перестановки), который замкнут относительно композиции и взятия обратного, G является группой, действующей на X.

Если X состоит из n элементов, а G — из всех перестановок, то G является симметрической группой S_n. В общем случае любая группа перестановок G является подгруппой симметрической группы множества X. Ранняя конструкция, принадлежащая Кэли, показала, что любую группу можно представить как группу перестановок, действующую на самой себе (X = G) посредством левого регулярного представления.

Во многих случаях структуру группы перестановок можно изучать, используя свойства её действия на соответствующем множестве. Например, таким образом доказывается, что для n ≥ 5 знакопеременная группа A_n является простой, то есть не имеет собственных нормальных подгрупп. Этот факт играет ключевую роль в невозможности решения общего алгебраического уравнения степени n ≥ 5 в радикалах.

Следующий важный класс групп составляют матричные группы, или линейные группы. Здесь G — это множество, состоящее из обратимых матриц заданного порядка n над полем K, которое замкнуто относительно умножения и взятия обратных элементов. Такая группа действует на n-мерном векторном пространстве Kⁿ с помощью линейных преобразований. Это действие делает матричные группы концептуально схожими с группами перестановок, и геометрия действия может быть полезна для установления свойств группы G.

Группы перестановок и матричные группы являются частными случаями групп преобразований: групп, которые действуют на некотором пространстве X, сохраняя его внутреннюю структуру. В случае групп перестановок X — это множество; для матричных групп X — это векторное пространство. Понятие группы преобразований тесно связано с понятием группы симметрии: группы преобразований часто состоят из всех преобразований, сохраняющих определённую структуру.

Теория групп преобразований образует мост, соединяющий теорию групп с дифференциальной геометрией. Долгая линия исследований, берущая начало от Ли и Клейна, рассматривает действия групп на многообразиях с помощью гомеоморфизмов или диффеоморфизмов. Сами группы могут быть как дискретными, так и непрерывными.

Большинство групп, рассматриваемых на раннем этапе развития теории групп, были «конкретными»: они реализовывались через числа, перестановки или матрицы. Лишь в конце XIX века начала утверждаться идея абстрактной группы, где «абстрактная» означает, что природа элементов игнорируется настолько, что две изоморфные группы считаются одной и той же группой.

Важным источником абстрактных групп является построение факторгруппы G/H группы G по нормальной подгруппе H. Одними из первых примеров факторгрупп, представляющих большой интерес в теории чисел, были классовые группы полей алгебраических чисел. Если группа G является группой перестановок на множестве X, то факторгруппа G/H уже не действует на X; однако идея абстрактной группы позволяет не беспокоиться об этом несоответствии.

Смена перспективы с конкретных групп на абстрактные делает естественным рассмотрение свойств групп, которые не зависят от конкретной реализации или, говоря современным языком, инвариантны относительно изоморфизма, а также классов групп с заданным таким свойством: конечные группы, периодические группы, простые группы, разрешимые группы и так далее. Вместо изучения свойств отдельной группы стремятся установить результаты, применимые ко всему классу групп. Эта новая парадигма имела огромное значение для развития математики: она предвосхитила создание абстрактной алгебры в работах Гильберта, Эмиля Артина, Эмми Нётер и математиков их школы.

Важное развитие понятия группы происходит, если G наделяется дополнительной структурой, а именно структурой топологического пространства, дифференцируемого многообразия или алгебраического многообразия. Если умножение и обращение в группе согласованы с этой структурой, то есть являются непрерывными, гладкими или регулярными (в смысле алгебраической геометрии) отображениями, то G является топологической группой, группой Ли или алгебраической группой.

Наличие дополнительной структуры связывает эти типы групп с другими математическими дисциплинами и предоставляет больше инструментов для их изучения. Топологические группы образуют естественную область для абстрактного гармонического анализа, тогда как группы Ли (часто реализуемые как группы преобразований) являются основой дифференциальной геометрии и теории унитарных представлений. Некоторые вопросы классификации, которые невозможно решить в общем случае, могут быть рассмотрены и решены для специальных подклассов групп. Так, компактные связные группы Ли были полностью классифицированы. Существует плодотворная связь между бесконечными абстрактными группами и топологическими группами: всякий раз, когда группа Γ может быть реализована как решетка в топологической группе G, геометрия и анализ, связанные с G, дают важные результаты о Γ. Сравнительно недавняя тенденция в теории конечных групп использует их связи с компактными топологическими группами (про-конечными группами): например, одна p-адическая аналитическая группа G имеет семейство факторгрупп, которые являются конечными p-группами различных порядков, и свойства G переносятся на свойства ее конечных факторгрупп.

В течение двадцатого века математики глубоко исследовали некоторые аспекты теории конечных групп, особенно локальную теорию конечных групп и теорию разрешимых и нильпотентных групп. В результате была достигнута полная классификация конечных простых групп, что означает, что теперь известны все те простые группы, из которых могут быть построены все конечные группы.

Во второй половине двадцатого века такие математики, как Шевалле и Стейнберг, также расширили наше понимание конечных аналогов классических групп и других связанных с ними групп. Одним из таких семейств групп является семейство общих линейных групп над конечными полями.

Конечные группы часто возникают при рассмотрении симметрии математических или физических объектов, когда эти объекты допускают лишь конечное число преобразований, сохраняющих структуру. Теория групп Ли, которую можно рассматривать как имеющую дело с «непрерывной симметрией», находится под сильным влиянием связанных с ними групп Вейля. Это конечные группы, порожденные отражениями, которые действуют на конечномерном евклидовом пространстве. Таким образом, свойства конечных групп могут играть роль в таких областях, как теоретическая физика и химия.

Теория графов   

В математике и информатике теория графов — это изучение графов, математических структур, используемых для моделирования попарных отношений между объектами. Граф в этом контексте состоит из вершин (также называемых узлами или точками), которые соединены ребрами (также называемыми дугами, связями или линиями). Различают неориентированные графы, где ребра соединяют две вершины симметрично, и ориентированные графы, где ребра соединяют две вершины асимметрично. Графы являются одним из основных объектов изучения в дискретной математике.

Теория графов — это раздел математики, изучающий графы — математические структуры для моделирования попарных отношений между объектами. Она является частью дискретной математики, часто рассматриваемой как часть комбинаторики, хотя из-за своего значительного роста и отличия от других областей она стала самостоятельной областью со своим собственным кругом задач. Термин «граф» был введен Джеймсом Джозефом Сильвестром в статье, опубликованной в 1878 году в журнале Nature, где он провел аналогию между «квантовыми инвариантами» и «ковариантами» алгебры и молекулярными диаграммами.

Определение графа может варьироваться, но можно понять, что граф — это структура, состоящая из вершин (также называемых узлами или точками) и ребер (также называемых дугами, связями или линиями). Две вершины ребра называются его концами. Иногда граф называют неориентированным графом, чтобы отличить его от ориентированного графа.

Ориентированный граф — это граф, где каждое ребро имеет заданное направление (ориентацию), обозначенное стрелкой. Смешанный граф может содержать как направленные, так и ненаправленные ребра. Граф также могут называть простым графом, чтобы отличить его от мультиграфа. Мультиграф допускает наличие нескольких ребер с одной и той же парой концов, а также позволяет ребру соединять вершину саму с собой (петля). Ребрам графа может быть присвоено число, называемое весом. Такой граф называется взвешенным графом.

Алгебраическая теория графов — это раздел теории графов, использующий основные разделы алгебры, такие как линейная алгебра и теория групп.

Изучение теории графов с помощью линейной алгебры называется спектральной теорией графов. Она фокусируется на матрице смежности (матрице, представляющей граф) и ее спектре, который включает характеристический многочлен, собственные значения и собственные векторы данной матрицы смежности. Также рассматривается матрица Лапласа графа, которая включает матрицу степеней (диагональную матрицу, представляющую степень вершины) и матрицу смежности.

Теория групп, в частности группы автоморфизмов и геометрическая теория групп, фокусируется на различных семействах графов, основанных на симметрии в алгебраической теории графов. Такая симметрия включает симметричные графы, вершинно-транзитивные графы, реберно-транзитивные графы, дистанционно-транзитивные графы, дистанционно-регулярные графы и сильно регулярные графы. Теорема Фрухта утверждает, что каждая конечная группа является группой симметрий некоторого конечного неориентированного графа; более того, существует бесконечно много неизоморфных простых связных графов, группа автоморфизмов каждого из которых изоморфна данной конечной группе.

Алгебраическая теория графов также изучает алгебраические инварианты, хроматический многочлен, многочлен Татта графа и инварианты узлов.

Инвариант графа — это свойство графов, которое зависит только от абстрактной структуры, а не от обозначений или изображений графа. Хроматический многочлен — это многочлен, который подсчитывает количество раскрасок графа как функцию от числа цветов. Многочлен Татта — это многочлен от двух переменных, связанный со связностью графа.

Геометрическая теория графов фокусируется на комбинаторных и геометрических свойствах графа, нарисованного на плоскости с прямолинейными или непрерывными изогнутыми ребрами в евклидовом пространстве. Как часть дискретной и вычислительной геометрии, геометрическая теория графов изучает планарные графы, связь с многомерными выпуклыми многогранниками, пересечения геометрических фигур и другие подобласти геометрии, такие как геометрия инцидентности и проективная геометрия.

Планарный граф, вершины которого вложены как точки, а ребра — непересекающиеся отрезки на евклидовой плоскости, называется планарным прямолинейным графом. Любой планарный граф может быть представлен как планарный прямолинейный граф согласно теореме Фари. Планарный прямолинейный граф является частным случаем евклидова графа. Евклидов граф позволяет ребрам иметь длину, равную евклидову расстоянию между его концами. Его ключевые понятия включают евклидово минимальное остовное дерево (минимизация общей длины отрезков для конечных точек в любом евклидовом пространстве), проблему Хадвигера — Нельсона (поиск минимального числа цветов для раскраски плоскости так, чтобы любые две точки на расстоянии единицы имели разные цвета) и задачу о кратчайшем пути (поиск пути между двумя вершинами графа, минимизирующего сумму заданных значений его ребер).

Граф видимости — это граф, вершины и ребра которого представляют собой местоположения точек и видимые соединения соответственно. В простом многоугольнике, где его ребра не самопересекаются и не имеют отверстий, вершины графа видимости соединены ребрами, представляющими стороны и диагонали многоугольника.

Вершины определяются как местоположения точек. Полиэдральный граф — это неориентированный граф, который образует вершины и ребра трехмерного выпуклого многогранника. Чтобы это было так, такой граф должен соответствовать требованиям теоремы Штайница, которая гласит, что каждый выпуклый многогранник является 3-вершинно-связным планарным графом. Планарный граф остается связным, если удалить любые две его вершины.

Граф пересечений — это граф, в котором каждая вершина связана с множеством, и в котором вершины соединяются ребрами всякий раз, когда соответствующие множества имеют непустое пересечение. Каждая вершина представлена как множество, и каждые две вершины соединены. Следовательно, граф пересечений конечных множеств может быть представлен через наименьшее количество необходимых элементов, известное как число пересечений. Результирующий граф может быть геометрическим, если множества являются геометрическими объектами. Например, граф пересечений отрезков прямой в одном измерении — это интервальный граф. Граф пересечений единичных дисков на плоскости — это граф единичных дисков. Пересечение круговой упаковки — это граф монет, где вершина и ребро представляют круг и каждую пару касающихся кругов; согласно теореме Кёбе — Андреева — Тёрстона, графы пересечений непересекающихся кругов являются в точности планарными графами. Теорема Шейнермана утверждает, что каждый планарный граф может быть представлен как граф пересечений отрезков прямой на плоскости.

Граф Леви — это двудольный граф, который ассоциируется со структурой инцидентности и проективной конфигурацией.

Применяясь к визуализации информации, это создает еще одну подобласть теории графов, известную как рисование графов, которая визуализирует изображение графа. Часто рисуемые как диаграммы «узел — связь», вершины графа представляются в виде дисков, прямоугольников или текстовых меток, а ребра — в виде отрезков прямых, ломаных линий или кривых на евклидовой плоскости.

Многие определения рисования графов, основанные на критериях качества, включают число пересечений, площадь, отображение симметрии при поиске проблемы автоморфизма группы графа, минимизацию изгибов, угловое разрешение и число наклонов. Инструментами для рисования графов служат круговая упаковка, граф пересечений и другие визуализации матрицы смежности.

Задача о кратчайшем пути   

В теории графов задача о кратчайшем пути заключается в поиске пути между двумя вершинами (или узлами) в графе, такого, чтобы сумма весов составляющих его ребер была минимальной.

Задачу поиска кратчайшего пути между двумя перекрестками на дорожной карте можно смоделировать как частный случай задачи о кратчайшем пути в графах, где вершины соответствуют перекресткам, а ребра — участкам дорог, каждый из которых взвешен длиной или расстоянием участка.

Задача о кратчайшем пути может быть определена для неориентированных, ориентированных или смешанных графов. Определение для неориентированных графов гласит, что каждое ребро может быть пройдено в любом направлении. Ориентированные графы требуют, чтобы последовательные вершины были соединены соответствующим направленным ребром.

Эту задачу также иногда называют задачей о кратчайшем пути для одной пары, чтобы отличить ее от следующих вариаций:

• Задача о кратчайшем пути из одного источника, в которой нужно найти кратчайшие пути от исходной вершины v до всех остальных вершин графа.
• Задача о кратчайшем пути к одному пункту назначения, в которой нужно найти кратчайшие пути от всех вершин ориентированного графа до единственной вершины назначения v. Она сводится к задаче о кратчайшем пути из одного источника путем обращения дуг в ориентированном графе.
• Задача о кратчайшем пути между всеми парами вершин, в которой нужно найти кратчайшие пути между каждой парой вершин v, v' в графе.

Эти обобщения имеют значительно более эффективные алгоритмы, чем наивный подход, заключающийся в запуске алгоритма поиска кратчайшего пути для одной пары на всех релевантных парах вершин.

Существует несколько известных алгоритмов для решения этой задачи и её вариантов.

• Алгоритм Дейкстры решает задачу о кратчайшем пути из одного источника, используя только неотрицательные веса ребер.
• Алгоритм Беллмана — Форда решает задачу из одного источника, если веса ребер могут быть отрицательными.
• Алгоритм поиска A* решает задачу для одной пары, используя эвристики для ускорения поиска.
• Алгоритм Флойда — Уоршелла решает задачу о кратчайших путях между всеми парами вершин.
• Алгоритм Джонсона решает задачу о кратчайших путях между всеми парами вершин и может быть быстрее алгоритма Флойда — Уоршелла на разреженных графах.
• Алгоритм Витерби решает задачу о кратчайшем стохастическом пути с дополнительным вероятностным весом на каждом узле.

Дополнительные алгоритмы и связанные с ними оценки можно найти в работе Черкасского, Голдберга и Радзика (1996).

Дорожную сеть можно рассматривать как граф с положительными весами. Узлы представляют собой дорожные развязки, а каждое ребро графа связано с участком дороги между двумя развязками. Вес ребра может соответствовать длине участка дороги, времени, необходимому для его прохождения, или стоимости его прохождения. Используя направленные ребра, можно также моделировать улицы с односторонним движением. Такие графы особенны тем, что некоторые ребра более важны для путешествий на дальние расстояния (например, автомагистрали). Это свойство было формализовано с помощью понятия «размерность автомагистрали». Существует большое количество алгоритмов, которые используют это свойство и поэтому могут вычислять кратчайший путь гораздо быстрее, чем это было бы возможно на обычных графах.

Все эти алгоритмы работают в два этапа. На первом этапе граф предварительно обрабатывается без знания исходного или целевого узла.

Второй этап — этап запроса. На этом этапе известны исходный и целевой узлы. Идея заключается в том, что дорожная сеть статична, поэтому этап предварительной обработки можно выполнить один раз и использовать для большого количества запросов к одной и той же дорожной сети.

Для задач о кратчайшем пути в вычислительной геометрии см. «Евклидов кратчайший путь».

Задача о кратчайшем множественном несвязном пути представляет собой представление примитивной сети путей в рамках теории рептации. Задача о самом широком пути ищет путь, в котором минимальная метка любого ребра максимально велика.

В отличие от задачи о кратчайшем пути, которая может быть решена за полиномиальное время в графах без отрицательных циклов, задачи о кратчайшем пути, включающие дополнительные ограничения на искомый путь, называются задачами с ограничениями (Constrained Shortest Path First) и решаются сложнее. Одним из примеров является задача о кратчайшем пути с ограничениями, которая пытается минимизировать общую стоимость пути, одновременно поддерживая другую метрику ниже заданного порога. Это делает задачу NP-полной (считается, что такие задачи не могут быть эффективно решены для больших наборов данных, см. проблему P = NP). Другой NP-полный пример требует включения в путь определенного набора вершин, что делает задачу похожей на задачу коммивояжера (TSP). TSP — это задача поиска кратчайшего пути, который проходит через каждую вершину ровно один раз и возвращается в начало. Задача поиска самого длинного пути в графе также является NP-полной.

Задача канадского путешественника и задача о стохастическом кратчайшем пути являются обобщениями, в которых либо граф не полностью известен движущемуся объекту, изменяется со временем, либо действия (прохождения) являются вероятностными.

Иногда ребра в графе обладают собственными интересами: каждое ребро преследует свою собственную эгоистичную цель. Примером может служить сеть связи, в которой каждое ребро является компьютером, возможно, принадлежащим разным людям.

Разные компьютеры имеют разную скорость передачи, поэтому каждое ребро в сети имеет числовой вес, равный количеству миллисекунд, необходимых для передачи сообщения. Наша цель — отправить сообщение между двумя точками сети за минимально возможное время. Если мы знаем время передачи каждого компьютера (вес каждого ребра), то можно использовать стандартный алгоритм поиска кратчайших путей. Если же время передачи неизвестно, нам придется спрашивать каждый компьютер. Но компьютеры могут быть эгоистичными: они могут сообщить, что их время передачи очень велико, чтобы мы не беспокоили их своими сообщениями. Возможное решение этой проблемы — использовать вариант механизма VCG, который стимулирует компьютеры раскрывать свои истинные веса.

Многие задачи можно сформулировать как разновидность задачи о кратчайшем пути, используя подходящие операции сложения вдоль пути и взятия минимума. Общий подход к ним заключается в рассмотрении этих двух операций как операций полукольца. Умножение в полукольце выполняется вдоль пути, а сложение — между путями. Эта общая структура известна как алгебраическая задача о путях.

Большинство классических алгоритмов поиска кратчайшего пути (и новые) могут быть сформулированы как решение линейных систем над такими алгебраическими структурами.

Совсем недавно была разработана еще более общая структура для решения этих (и гораздо менее очевидно связанных) задач под названием алгебры оценок.

В реальной жизни транспортная сеть обычно является стохастической и зависящей от времени. Продолжительность поездки на участке дороги зависит от многих факторов, таких как интенсивность движения (матрица корреспонденций), дорожные работы, погода, аварии и поломки автомобилей. Более реалистичной моделью такой дорожной сети является стохастическая зависящая от времени (СЗВ) сеть.

Не существует общепринятого определения оптимального пути в условиях неопределенности (то есть в стохастических дорожных сетях).

Это спорная тема, несмотря на значительный прогресс за последнее десятилетие. Одно из распространенных определений — это путь с минимальным ожидаемым временем в пути. Главное преимущество такого подхода в том, что он позволяет использовать эффективные алгоритмы поиска кратчайшего пути для детерминированных сетей. Однако полученный оптимальный путь может быть ненадежным, поскольку этот подход не учитывает изменчивость времени в пути.

Чтобы решить эту проблему, некоторые исследователи используют распределение продолжительности поездки вместо ее ожидаемого значения. Таким образом, они находят распределение вероятностей общей продолжительности поездки с помощью различных методов оптимизации, таких как динамическое программирование и алгоритм Дейкстры.

Клеточный автомат   

Клеточный автомат (мн.ч. клеточные автоматы, сокр. КА) — это дискретная модель вычислений, изучаемая в теории автоматов. Клеточные автоматы также называют клеточными пространствами, мозаичными автоматами, однородными структурами, клеточными структурами, мозаичными структурами и итеративными массивами. Клеточные автоматы нашли применение в различных областях, включая физику, теоретическую биологию и моделирование микроструктур.

Клеточный автомат состоит из регулярной решетки ячеек, каждая из которых находится в одном из конечного числа состояний, например «включено» и «выключено» (в отличие от решетки связанных отображений). Решетка может иметь любую конечную размерность. Для каждой ячейки определен набор ячеек, называемый ее окрестностью, относительно указанной ячейки. Начальное состояние (время t = 0) выбирается путем присвоения состояния каждой ячейке. Новое поколение создается (с увеличением t на 1) в соответствии с некоторым фиксированным правилом (обычно математической функцией), которое определяет новое состояние каждой ячейки на основе текущего состояния ячейки и состояний ячеек в ее окрестности.

Обычно правило обновления состояний ячеек одинаково для каждой ячейки, не меняется со временем и применяется ко всей решетке одновременно, хотя известны и исключения, такие как стохастический клеточный автомат и асинхронный клеточный автомат.

Концепция была впервые предложена в 1940-х годах Станиславом Уламом и Джоном фон Нейманом, когда они работали в Лос-Аламосской национальной лаборатории. Хотя некоторые исследователи изучали клеточные автоматы в 1950-х и 1960-х годах, широкий интерес за пределами академических кругов возник только в 1970-х годах с появлением «Игры в жизнь» Конвея — двумерного клеточного автомата. В 1980-х годах Стивен Вольфрам провел систематическое исследование одномерных клеточных автоматов, которые он назвал элементарными клеточными автоматами; его ассистент Мэттью Кук показал, что одно из этих правил является тьюринг-полным.

Основные классы клеточных автоматов, выделенные Вольфрамом, нумеруются от одного до четырех. По порядку: автоматы, в которых паттерны обычно стабилизируются в однородное состояние; автоматы, в которых паттерны эволюционируют в преимущественно стабильные или осциллирующие структуры; автоматы, в которых паттерны развиваются хаотично; и автоматы, в которых паттерны становятся чрезвычайно сложными и могут существовать долгое время, образуя стабильные локальные структуры. Считается, что этот последний класс является вычислительно универсальным, то есть способным имитировать машину Тьюринга. Особые типы клеточных автоматов — это обратимые, где только одна конфигурация ведет к следующей, и тоталистические, в которых будущее значение отдельной ячейки зависит только от общего значения группы соседних ячеек. Клеточные автоматы могут моделировать множество реальных систем, включая биологические и химические.

Один из способов симуляции двумерного клеточного автомата — использовать бесконечный лист миллиметровой бумаги вместе с набором правил, которым должны следовать ячейки.

Каждый квадрат называется «ячейкой», и каждая ячейка может находиться в одном из двух возможных состояний: черном или белом. Окрестность ячейки — это близлежащие, обычно смежные, ячейки. Два наиболее распространенных типа окрестностей — окрестность фон Неймана и окрестность Мура. Первая, названная в честь основателя теории клеточных автоматов, состоит из четырех ортогонально смежных ячеек. Вторая включает окрестность фон Неймана, а также четыре диагонально смежные ячейки. «Игра в жизнь» Конвея — популярная версия этой модели. Другой распространенный тип окрестности — расширенная окрестность фон Неймана, которая включает две ближайшие ячейки в каждом ортогональном направлении, всего восемь ячеек.

Обычно предполагается, что все ячейки вселенной начинают в одном и том же состоянии, за исключением конечного числа ячеек в других состояниях; присвоение значений состояний называется конфигурацией. В более общем смысле иногда предполагается, что вселенная изначально покрыта периодическим узором, и только конечное число ячеек нарушает этот узор. Последнее предположение распространено в одномерных клеточных автоматах.

Клеточные автоматы часто симулируются на конечной решетке, а не на бесконечной. В двух измерениях вселенная была бы прямоугольником, а не бесконечной плоскостью. Очевидная проблема с конечными решетками — как обрабатывать ячейки на краях. Их обработка повлияет на значения всех ячеек в решетке. Один из возможных методов — позволить значениям в этих ячейках оставаться постоянными. Другой метод — определить окрестности для этих ячеек иначе. Можно сказать, что у них меньше соседей, но тогда также пришлось бы определить новые правила для ячеек, расположенных на краях. Обычно эти ячейки обрабатываются с помощью периодических граничных условий, что приводит к тороидальному расположению: когда вы выходите за верхний край, вы входите в соответствующую позицию на нижнем краю, а когда вы выходите за левый край, вы входите справа.

Это, по сути, имитирует бесконечную периодическую мозаику, что в области дифференциальных уравнений иногда называют периодическими граничными условиями. Визуализировать это можно так: склеиваем левый и правый края прямоугольника, образуя трубку, а затем склеиваем верхний и нижний края трубки, образуя тор (форму бублика). Вселенные других размерностей обрабатываются аналогично. Это решает проблемы с границами для окрестностей, но еще одним преимуществом является простота программирования с использованием функций модульной арифметики.

Вольфрам в книге «Новый вид науки» и ряде статей середины 1980-х годов определил четыре класса, на которые можно разделить клеточные автоматы и несколько других простых вычислительных моделей в зависимости от их поведения. В то время как более ранние исследования клеточных автоматов были склонны к определению типов паттернов для конкретных правил, классификация Вольфрама стала первой попыткой классифицировать сами правила. В порядке возрастания сложности классы таковы:

• Класс 1: Почти все начальные конфигурации быстро эволюционируют в стабильное однородное состояние. Любая случайность в начальной конфигурации исчезает.
• Класс 2: Почти все начальные конфигурации быстро эволюционируют в стабильные или осциллирующие структуры. Часть случайности начальной конфигурации может отсеяться, но часть остается. Локальные изменения начальной конфигурации, как правило, остаются локальными.
• Класс 3: Почти все начальные конфигурации эволюционируют псевдослучайным или хаотическим образом. Любые стабильные структуры, которые появляются, быстро разрушаются окружающим шумом. Локальные изменения начальной конфигурации имеют тенденцию распространяться бесконечно.
• Класс 4: Почти все начальные конфигурации эволюционируют в структуры, которые взаимодействуют сложными и интересными способами, с образованием локальных структур, способных выживать в течение длительного времени.

Структуры типа «Класс 2» (стабильные или осциллирующие) могут быть конечным результатом, но количество шагов для их достижения может быть очень большим, даже если начальный паттерн относительно прост. Локальные изменения начального паттерна могут распространяться бесконечно. Вольфрам предположил, что многие клеточные автоматы класса 4, если не все, способны к универсальным вычислениям. Это было доказано для Правила 110 и «Игры в жизнь» Конвея.

Эти определения носят качественный характер, и существует некоторая свобода для интерпретации. По словам Вольфрама, «...почти при любой общей схеме классификации неизбежно встречаются случаи, которые по одному определению относятся к одному классу, а по другому — к другому. Так и с клеточными автоматами: иногда встречаются правила... которые демонстрируют некоторые черты одного класса и некоторые — другого».

Источник: ruiner | Steam